V roce 1770 proslulý francouzský matematik Joseph-Louis Lagrange dokázal, že každé přirozené číslo lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Tedy pro každé přirozené n existují taková celá čísla a, b, c, d, že platí rovnost n= a^2+b^2+c^2+d^2. Takzvaná Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích se zapsala do dějin matematiky.
O tři staletí později se kvadratické vzorce staly základem zkoumání vědeckého týmu pod vedením Mgr. Vítězslava Kaly, Ph.D., z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. Hlavním tématem projektu financovaného GA ČR bylo zkoumání takzvaných univerzálních kvadratických forem.
„Jde o velmi důležité téma v teorii čísel, které souvisí s celou řadou jiných matematických oblastí, od matematické analýzy až po post-kvantovou kryptografii. A právě proto mě baví se tomuto tématu věnovat. Líbí se mi totiž, jak kombinuje a propojuje složité teorie k řešení zdánlivě jednoduchých otázek,“ komentuje Vítězslav Kala, proč si vybral téma projektu s názvem Kvadratické formy a numerační systémy nad číselnými tělesy.
Cílem tohoto projektu bylo studovat univerzální formy nad číselnými tělesy, což jsou jistá rozšíření celých čísel například o komplexní odmocninu z -1. Jedním z klíčových nástrojů, které k tomu tým použil, byly numerační systémy. „Jeden numerační systém známe a používáme všichni: desítkovou soustavu. Pro mnohé otázky, ať už týkající se již zmíněných číselných těles nebo implementace v počítačích, je ale důležité pracovat s výrazně obecnějšími soustavami, tak jako jsme to dělali v rámci projektu,“ vysvětluje Kala.
V jeho týmu pracovali tři postdoci – Tomáš Hejda a Tomáš Vávra, kteří se věnovali zejména stránce numeračních systémů, a také analytický číselný teoretik Ezru Waxman z USA. „Také mám radost, že se mi povedlo do výzkumu zapojit řadu studentů, jak mé dva doktorandy, tak několik magisterských, ale i bakalářských studentů Matfyzu. V rámci Studentského semináře z teorie čísel dokázali několik pěkných výsledků, které vyšly ve dvou článcích v dobrých zahraničních časopisech,“ zdůrazňuje dr. Kala, jehož projekt byl hodnotiteli Grantové agentury České republiky hodnocen jako vynikající.
„Hlavní výzvou byla matematika jako taková: To, že typicky vůbec není jasné, z které strany se do problému zakousnout, abychom ho vyřešili. A také to, že člověk musí být smířený, že spousta věcí, které zkusí, nakonec vedou do slepé uličky.“
Jedním z klíčových nástrojů, které tým při řešení projektu používal, jsou tzv. kvadratické mříže. Ty přitom slouží jako základ pro post-kvantovou kryptografii, tedy šifrování, které odolá útokům kvantových počítačů. „V rámci práce na projektu jsme získali výborné porozumění těmto mřížím, možná lepší, než nakolik jim rozumí někteří kryptografové z praxe. V nejbližších pár letech se tedy chci věnovat i souvisejícím kryptografickým otázkám, jejichž praktické dopady by pak byly zcela zásadní,“ naznačuje Vítězslav Kala využití některých výsledků projektu v praxi.
Od letošního ledna Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., řeší pětiletý projekt JUNIOR STAR, který je také financovaný Grantovou agenturou České republiky. „V jeho rámci chci výrazně prohloubit dosavadní porozumění univerzálním formám a propojit je s dalšími klíčovými objekty v teorii čísel, jako jsou třídová čísla. Jedná se o velký a ambiciózní projekt. Kdyby se nám to s mými čtyřmi postdoky povedlo, mohlo by to být vskutku přelomové,“ věří Vítězslav Kala.
Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., absolvoval Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy, následně strávil 4 roky na doktorském studiu v USA na Univerzitě Purdue. Poté působil několik let jako postdok v Bonnu a Göttingenu v Německu, než se v roce 2017 vrátil na Matfyz. Ve svém výzkumu se zaměřuje na teorii čísel a související oblasti algebry a rád do něj zapojuje i studenty. Vedle řešení grantů aktuálně působí v GA ČR také jako místopředseda hodnoticího panelu Matematika a informatika.