Největší radost ze své práce má profesor Václav Klika tehdy, když najde chybu. Ne, není to reakce škodolibého učitele. Řeč je o chybě v matematickém modelu, který popisuje nějakou část reality. Chyba totiž odhaluje, že teorie, z níž model vychází, není správná, a je nutné vytvořit lepší.
Svět kolem nás je složitý, a tak ho věda popisuje pomocí matematických modelů, které umožňují realitu snáze pochopit a také do ní zasahovat. Za vytváření takových modelů byl Václav Klika minulý rok nominován na Cenu předsedy Grantové agentury ČR.
Model je zjednodušený popis reality, který se soustředí na to podstatné, a neobsahuje tedy všechny detaily. Krásným příkladem je obyčejný šálek čaje. Ponoříte sáček s čajem do horké vody a pozorujete, jak se uvolňované barvivo uvnitř šálku šíří, až je tekutina zabarvená rovnoměrně.
Tento jev by se dal popsat jako pohyb jednotlivých molekul. Bylo by to sice velice přesné, ale buď neskutečně pracné, anebo vzhledem k počtu molekul úplně nemožné a pro praxi vlastně nepotřebné. Potřebujeme přece především vědět, kdy bude čaj hotový. A na to dokáže odpovědět správný model.
„Kuchařka“ místo improvizace
„Matematické modely pro složité děje se dají vytvářet ad hoc, tedy pro každou situaci zvlášť. Takovýto přístup má však řadu nedostatků. Například je těžké zahrnout známá omezení, jako jsou zákony zachování hmoty, energie a podobně, a kromě jednoduchých případů není moc jasné, jak postupovat,“ vysvětluje Václav Klika, který působí na katedře matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze.
S důvěrou v čtenáře tohoto článku hned navrhuje, aby si pro onen čaj zkusili sestavit „vzoreček“ a navrhli, jak ho modifikovat v případě, že by byl čaj navíc zespoda zahříván. Obtížnost úkolu by si tak mohli sami ověřit.
„V neposlední řadě se může stát, že autor v takovémto ad hoc modelu něco důležitého opomine, protože postupuje bez vodítek, která by mu poskytla širší teorie,“ varuje Václav Klika.
Jak dodává, při tvorbě modelů je možné se opřít o teoretický základ takzvané nerovnovážné termodynamiky. Tento fyzikální obor totiž systematicky popisuje děje, které nějakým vývojem směřují k rovnovážnému stavu, a zaměřuje se při tom na pozorovatelné jevy, takzvané fenomény. Jinými slovy nemusí zkoumat jejich příčiny na úrovni jednotlivých částic. V případě louhování čaje stačí popsat šíření barviva z místa s vyšší koncentrací barviva do místa s nižší koncentrací.
A co je důležité: model navržený v rámci nerovnovážné termodynamiky v sobě automaticky obsahuje základní fyzikální zákony, jako je zákon zachování hmoty nebo energie, ale i druhý zákon termodynamiky, takzvanou šipku času. Pokud je tento rámec správně používán, dramaticky se snižuje riziko chyb v návrhu modelu.
„Mluvíme o matematickém modelu, ‚vzorečku‘ popisujícím odezvu systému, který má však podobu soustavy parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice obecně matematicky reprezentují studovaný děj. Při vložení konkrétních parametrů dostaneme specifický popis vývoje odpovídající dané situaci,“ shrnuje Václav Klika ve zjednodušené formě modely, jimiž se zabývá.
Záhadný pohyb kloubů
Příkladem praktického využití je matematický model lidské chrupavky. Tato pojivová tkáň slouží například k pružnému spojení kostí v kloubech. Musí být tuhá, ale i pružná, aby při lidském pohybu dokázala přenášet zatížení, které je násobně větší než hmotnost člověka, a současně vyrovnávat otřesy a tlumit nárazy.
Pro správné pochopení funkce chrupavky je zásadní popsat její dynamické chování. „Kdyby model popisoval jenom klidový, stacionární stav chrupavky, zjistili bychom, že by vůbec nemohla plnit funkci, kterou má,“ uvádí Václav Klika. „Schopnost chrupavky přenášet zatížení by bez dynamických jevů spojených s prouděním tekutiny v ní spolu s transportem iontů byla řádově horší. Funkční model musí tyto jevy zachytit.“
Odpovídající model popisuje chrupavku jako směs pevné a kapalné látky, které se vzájemně ovlivňují. Konkrétně pak jeho pevná struktura odpovídá poréznímu prostředí (představme si houbu) a nese na sobě vázaný elektrický náboj. Touto strukturou proniká takzvaná synoviální tekutina, tedy viskózní bezbarvá tekutina, která obsahuje volně se pohybující ionty. Interakce mezi pevně vázaným nábojem v chrupavce a volnými ionty v tekutině zvyšuje schopnost tlumit zátěž.
Síla interakce zprostředkující tuhost odezvy chrupavky však závisí na rychlosti transportu iontů prouděním tekutiny porézním prostředí. Neboli odezva chrupavky závisí na přechodném, dynamickém, nerovnovážném stavu. V klidovém stavu silná tendence k elektroneutralitě rychle převáží a efekt by zmizel. Model proto musí zachytit nerovnovážný děj, aby správně popsal skutečnou funkci chrupavky.
Poznatky jsou užitečné pro pochopení správného fungování chrupavky, ale i třeba pro konstrukci umělých kloubních náhrad nebo prosté mechanické zátěžové testy chrupavky.
Skutečnost může vypadat neuvěřitelně
Další využití nerovnovážné termodynamiky při tvorbě matematických modelů vidí Václav Klika zejména při tzv. spřažených dějích, v nichž se jevy různé povahy navzájem neintuitivně ovlivňují. Vysvětlení: Máme třeba směs více než dvou látek. Jak jsme viděli u louhování čaje, látky mají tendenci rozptylovat se a vyrovnávat svou koncentraci, čemuž se říká difuze. Totéž intuitivně očekáváme i v dalších podobných situacích. Ale existují směsi, v nichž se může látka přechodně hromadit na jednom místě a nerozptylovat se. Podobné jevy stojí také třeba za separací izotopů uranu (tzv. Soretův jev) při jeho obohacování.
Správný termodynamický model tedy musí určit, co se doopravdy stane. A to i v tak složitých systémech, jako je například popis atmosférických jevů.
Největší radost? Najít chybnou teorii
Základní modely potvrdí něco, co už bylo známé z předchozích pozorování. Václava Kliku však více potěší, když se mu podaří vytvořit model, který na základě známých principů předpoví nové, nečekané chování, jež se pak následně ověří novým experimentem.
Ale za úplně nejpřínosnější považuje, když se mu podaří zjistit, že model dal předpověď, kterou pak experiment vyvrátí. „V tu chvíli jsme se dozvěděli něco nesmírně cenného: naše teorie, z níž model vychází, je chybná,“ vysvětluje. „Tohle poznání nám umožní zjistit, v čem jsme se mýlili, a nutí nás vytvořit lepší, přesnější teorii. Je to cesta, která vede skutečně dopředu.“
Ostatně jeho oblíbený filozof Karl Popper tvrdil, že falzifikace, kterou je v tomto případě míněna možnost modely vyvrátit, vymezuje vědu od pseudovědy. Z těchto důvodů je právě znalost omezení pro formulaci modelu základním kamenem při navrhování věrohodných modelů daného jevu. Takovýmto vhodným teoretickým rámcem je z pohledu Václava Kliky právě nerovnovážná termodynamika.
prof. Ing. Václav Klika, Ph.D.
Narodil se v roce 1983. Vystudoval Fakultu jadernou a fyzikálně inženýrskou ČVUT v Praze, kde také získal v roce 2009 doktorát. Působil jako výzkumník v Ústavu termomechaniky Akademie věd ČR a jako přednášející na jaderné fakultě. Tam se v roce 2016 stal docentem a v roce 2023 profesorem aplikované matematiky. Působil rovněž na univerzitách v Oxfordu, Cambridge, Berkeley a Zaragoze, a také ve Švýcarském federálním technologickém institutu v Curychu a Polytechnické škole v Montrealu.
Zabývá se zejména tvorbou matematických modelů na bázi nerovnovážné termodynamiky a užívá nástrojů matematické analýzy pro následný odhad jejich kvalitativního chování.
Za svou vědeckou práci byl nominován na Cenu předsedy Grantové agentury ČR.
Výzkumný tým